Programme du cours. Rappels sur l'intégrale de Riemann (fonctions en escalier, fonctions Riemann-intégrables, propriétés fondamentales de l'intégrale). Théorie de la mesure (algèbre de parties, sigma-algèbre de parties, mesure additive, mesure sigma-additive, prolongement d'une mesure, mesure de Lebesgue, régularité et complétion d'une mesure). Intégrale de Lebesgue (fonctions mesurables, intégration des fonctions simples, positives, puis sommables, théorème de représentation de Riesz). Théorèmes fondamentaux d'intégration (théorèmes "limites" : convergence monotone, dominée, lemme de Fatou, théorème d'Egorov ; intégration dans des espaces produits, théorème de Fubbini ; changements de variables ; inégalités remarquables).

Cours en ligne. Version préliminaire.

Exercices. Chapitre 1, chapitre 2, chapitre 3.

Référence. Cédric Villani, Cours d'intégration et Analyse de Fourier, 2007.

Résumé des objectifs. Le projet de fin d'études est destiné aux élèves de 4ème année. Pendant la 4ème année de Lisans, chaque étudiant approfondit un sujet proposé par un enseignant associé au département de mathématiques (étude d'un sujet nouveau, d'un approfondissement du programme, de démonstrations, résolution de petits problèmes etc.) et rédige un mémoire d'une vingtaine de pages (en LaTeX et en français). A la fin de l'année, l'étudiant présente son travail oralement, en français en une quinzaine de minutes devant un public formé des élèves et enseignants du département.

Liste de sujets. Ici.

Calendrier et notation au 1er semestre.

Choix du sujet. Chaque élève doit avoir trouvé un responsable et un sujet à me transmettre par mail avant le mardi 2 octobre 2012.

Compte-rendu. Chaque étudiant doit rédiger un compte-rendu à me rendre au plus tard le mardi 18 décembre 2012 (entre 1 et 2 pages, en français, en LaTeX ou manuscrit, avec : titre complet, nom du responsable, un résumé du travail accompli par l'étudiant, des références précises). Dans son compte-rendu, l'étudiant doit présenter son sujet et essayer de répondre aux questions suivantes :

- qu'a-t-il lu, démontré, compris, appris, pendant ces 11 premières semaines de travail ?

- comment a-t-il travaillé ?

- que lui reste-t-il à faire comme travail ?

Note. La note du premier semestre est la moyenne de deux notes :

- la note du compte-rendu donnée par le responsable des projets (C. Milliet) (50 %)

- et la note attribuée par le responsable de chaque étudiant (50 %).

Critères de notation. Pour l'évaluation du compte-rendu, j'utiliserai les critères suivants :

- les règles ont-elles été respectées (délai, 1-2 pages, titre, nom du responsable, références) ?

- est-ce le travail personnel de l'étudiant ?

- ai-je compris ce qu'a écrit l'étudiant ?

- l'étudiant a-t-il lui-même compris ce qu'il écrivait ?

- l'étudiant a-t-il fait un "copier-coller" d'un livre, d'un article, ou d'une page web ?

- l'étudiant essaye-t-il de prouver et d'expliquer ce qu'il écrit en utilisant des théorèmes et références adéquats ? A-t-il suivi une démarche cohérente ?

- la qualité de la rédaction (présentation, clarté de l'expression écrite, français, orthographe etc.)

Un conseil pour la rédaction de tout rapport : lorsque vous écrivez, faites-le comme si vous racontiez une histoire à quelqu'un, et essayez d'expliquer suffisamment de choses pour que quelqu'un qui ne connaît rien à votre sujet puisse le comprendre. Un camarade de classe qui prend le temps de lire votre compte-rendu devrait le comprendre.

Attention. Pour chaque jour de retard de la remise du compte-rendu, la note sera baissée d'un cran.

Attention. les élèves qui auront recopié des passages de livres d'articles et de pages web sans citer leurs sources seront lourdement pénalisés : cela s'appelle du plagiat !

Pour l'évaluation individuelle de chaque élève par son responsable, on peut suggérer les critères suivants :

- l'élève a-t-il été assidu et régulier aux rendez-vous ?

- l'élève a-t-il travaillé assez ?

- a-t-il appris et progressé ?

Calendrier et notation au 2nd semestre.

Mémoire. Chaque élève doit rendre un mémoire au plus tard le mardi 7 mai 2013 (entre 15 et 25 pages de contenu mathématique), en LaTeX, en français. Le mémoire doit comprendre :

- une page de garde

- un sommaire

- une introduction expliquant l'intérêt du sujet et la démarche suivie

- le corps du texte structuré, entre 15 et 25 pages avec définitions précises, lemmes, théorèmes, démonstrations, explications etc.

- des références précises : auteur, titre, édition ou journal, année de parution

- éventuellement des remerciements, annexes, figures, images etc.
Le tout doit être limpide et compréhensible par un non-spécialiste du domaine.

Un modèle de mémoire préparé par Meral Tosun. Le logo de GSU pour la page de titre.

Oral. A la fin de l'année, l'étudiant présente son travail oralement, en français en une quinzaine de minutes devant un public formé des élèves et enseignants du département.

Notation. La note finale est une moyenne de trois notes :

- la note du mémoire attribuée par le responsable des projets (C. Milliet) (25 %)

- une évaluation de la rédaction du mémoire et du travail de chaque élève par son responsable (25 %)

- une évaluation de la présentation orale par un jury de professeurs du départements et autres invités (50 %)
Les mémoires des élèves ayant obtenus la note AA seront conservés dans la bibliothèque de l'université.

Critères de notation. Pour l'évaluation du mémoire, j'utiliserai les mêmes critères que pour le compte-rendu du 1er semestre.

Attention. Pour chaque jour de retard de la remise du compte-rendu, l'élève verra baisser sa note d'un cran.

Attention. En remettant son mémoire, chaque élève s'engage à l'avoir lui-même rédigé et édité, sans copier, et en citant explicitement les éventuels emprunts à un article, un livre ou une page web entre guillemets " ", qui seront clairement référencés. Le plagiat sera gravement pénalisé et passible de sanctions disciplinaires. Voir ici pour plus d'informations concernant les sanctions disciplinaires.

Pour l'évaluation de la présentation orale, le jury se basera sur les critères suivants :

- le niveau mathématique du travail. Est-ce un sujet suffisamment pointu et intellectuellement stimulant pour l'étudiant ? (25 %)

- l'approfondissement du sujet. L'étudiant s'est-il posé des questions, ou a-t-il seulement survolé les problèmes ? (25 %)

- l'étudiant a-t-il compris son sujet ? Sait-il répondre à des questions simples ? (25 %)

- le niveau de la présentation. Le travail est-il clairement présenté ? (25 %)

Une version préliminaire du cours d'Analyse complexe donné en 2011-2012.
Le cours de Topologie des espaces vectoriels normés donné en 2011-2012.

Bourses de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris. Bourses de Master, 2 ans. Postuler avant décembre
Bourses Prédoc pour un M2 à Grenoble. Postuler vers Mars.
Bourses Ambassade
Bourses de l'Agence Universitaire de la Francophonie. La sélection avantage les jeunes femmes.
Bourses ENS Cachan. Postuler vers février.
Bourses ENS Lyon pour un M1 et M2.
Bourses Eiffel pour un Master/Doctorat.